Invers Matriks

Misalkan kita mempunyai persamaan ax = b, dengan a dan b bilangan – bilangan real, a ¹ 0. Dengan mudah persamaan dapat diselesaikan dengan mengalikan kedua ruas dengan a^-1. Diperoleh x = a^-1 b. Hal yang serupa akan kita lakukan dalam menyelesaikan sistem persamaan linier AX = B dimana A matriks bujur sangkar. Untuk ini diperlukan pengertian invers matriks.

Sebelum diberikan pembatasan atau definisi terhadap invers suatu matriks, terlebih dahulu akan diberikan contoh kegunaan invers. Perhatikan dua buah persamaan di bawah ini:

2x = 10
=
ax = b
x = =

Jelaslah bahwa untuk memecahkan persamaan nomor 1 dan 2 di atas, yaitu untuk mencari nilai x yang memenuhi persamaan tersebut diperlukan nilai ½ dan 1/a.

Nilai ½ = 2^-1ini disebut kebalikan atau invers 2.

Invers dikalikan dengan aslinya akan menghasilkan 1.

Mis : ½ . 2 = 2^-1 . 2 = 1

Atau

Mis : 1/a . a = a^-1 . a = 1

Definisi 1.4 :

Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A

Contoh :
adalah invers dari
karena
dan

Sifat – Sifat Invers

Teorema 1:

Jika B dan C keduanya adalah invers matriks A maka B = C

Teorema 2 :

Matriks dapat dibalik (mempunyai invers) jika ad – bc ¹ 0 dimana invers bisa dicari dengan rumus :

Teorema 3 :

Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama, maka :

a. AB dapat dibalik

b. (AB)^-1 = B^-1 A^-1

Invers ditulis dengan A^-1

A^-1 . A = A . A^-1 = I

Untuk menghitung invers A (A^-1) ada beberapa cara :
1.
2. K = kofaktor

3. = Transformasi Baris

1. Contoh Soal Rumus 1 :

A =
A^-1 = A^-1 =

2. Contoh Soal Rumus 2 Mencari Invers Matriks dengan Adjoint :

A = Maka : |A| = 6 + 2 + 6 – (3 + 12 + 2) = -3 ≠ 0
Rumus :
K₁₁ =
= 3 - 6
= -3
K₁₂ = -
= 0
K₁₃ =
= 6 -3
= 3
K₂₁ =
= -(1 - 3)
= 2
K₂₂ =
= 2 - 1
= 1
K₂₃ = -
= - (6 - 1)
= -5
K₃₁ =
= 2 - 3
= -1
K₃₂ = -
= - (4 - 2)
= -2
K₃₃ =
= 6 - 2
=4
K =
K^T =


Uji :
=
A^-1 =

3. Contoh Soal Rumus 3 Mencari Invers Matriks dengan Transformasi Baris :

Beberapa pengertian :

b₁₂ = baris 1 ditukar dengan baris 2

baris 2 ditukar dengan baris 1

b₁(½) = baris 1 dikali ½

b₁₂(-2) = baris 1 berubah menjadi baris 1 yang baru

disebut b₁¹ = b₁ – 2b₂

Contoh :

Contoh Soal :

Tentukan A^-1 dengan menggunakan transformasi baris :

Jawab :

b₂₁(-2)

b₃₁(-2)

b₂(-1/3)

b₃(-1)

b₁₂(-3)

b₃₂(-5)

b₁₃(-1)