Determinan

Misalkan A adalah matriks kuadrat maka determinan matriks tersebut dinyatakan dengan det(A) atau | A |. Determinan A dikatakan berordo n, jika A merupakan matriks kuadrat berordo nxn.

Cara menghitung nilai determinan suatu matriks :

1. Determinan Matriks berordo Satu

Misalkan A adalah matriks bujursangkar berordo 1

A = [a₁₁], maka det A = | A | = a₁₁

2. Determinan Matriks berordo dua dan tiga (2x2, 3x3)

Determinan matriks yang berordo 2x2 didefinisikan sebagai :

Sebagai contoh :

Determinan dari matriks adalah:

Determinan matriks yang berordo 3x3

contoh :

Dengan Cara Sarrus :

Sebagai contoh :

Catatan : Cara Sarrus hanya boleh digunakan pada matriks 3 x 3

2. Nilai Determinan dengan Kofaktor

Untuk mencari nilai matriks berordo nxn dapat diselesaikan dengan cara menggunakan kofaktor, tetapi haruslah dikenal dulu minor dari elemen matriks. Minor dari elemen a_ij, dimana a_ij merupakan satu elemen dari matriks kuadrat A, dinyatakan oleh M_ij dan didefinisikan sebagai determinan dari bagian matriks A diluar baris ke-i dan kolom ke-j. Bilangan (-1)^i+j . M_ij dinyatakan dengan c_ij dan disebut kofaktor dari elemen a_ij :

c_ij = (-1)^i+j . M_ij

Determinan dari matriks kuadrat A dengan ordo nxn dapat dihitung dengan mengalikan elemen-elemen dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan, yakni untuk setiap 1<= i <= n dan 1<= j <= n , maka :

(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j), dan

ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i)

Sebagai contoh :

a) Dengan mempergunakan baris ke-1 (i=1)

c_ij = (-1)^i+j . M_ij

c₁₁ = (-1)¹⁺¹ . (-8) = -8

c₁₂ = (-1)¹⁺² . (0) = 0

c₁₃ = (-1)¹⁺³ . (4) = 4

b) Dengan mempergunakan kolom ke-1 (j=1)

c_ij = (-1)^i+j . M_ij

c₁₁ = (-1)¹⁺¹ . (-8) = -8

c₂₁ = (-1)²⁺¹ . (-6) = 6

c₃₁ = (-1)³⁺¹ . (-3) = -3

Contoh Lain` :

Jawab :
Dengan menggunakan bari ke-1 (i=1)





Jadi det(A) = -2

Sumber : Selvia Lorena Br. Ginting, S.Si., MT, Unikom